たとえば、ある公理系に於いて命題Aを述べることが可能であるとして
『命題Aは証明できない』ことは証明できるでしょうか

もしそれが証明できたとするなら、その公理系では証明できない命題が存在する
そういうことになります
またそれが証明できないときには
「命題Aが証明できないことは証明できない」ことが証明できるか、という問題を考えます
それが証明できたなら、やはりその公理系では証明できない命題が存在するわけです

これを続けると、どこまでも証明できない命題を作ることができます

しかしそもそも、命題Aが証明できたらどうなるのか
その場合には、「命題Aは証明できない」ことは偽である、ということになって
「命題Aが証明できない」ことは証明できないわけです

証明を規則的に構成しようとすると、おかしなことになります