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集合論の本の数学的厳密さには少なくとも三段階ある。
①公理を提示せず集合概念の直感にしたがい理論展開するもの（例：松坂和夫の集合・位相入門）
②公理を提示し、公理からの非形式的な推論にしたがって理論展開するもの（例：Halmos の Naive Set Theory）
③形式的に公理を提示し、公理からの形式的推論にしたがって理論展開するもの（例：集合論の専門書）

②か③の本をじっくり読まないと今あなたの感じているモヤモヤは晴れないと思う。
何を前提とするのか、写像とはどんなものか、自然数とはどんなものか…
こういう基礎的な疑問を棚上げして、とにかく集合論を使えるようにすることが①の目的だから。