(2.3)

A⊆C∧B⊆C⇒A∪B⊆C

(証明)

　A∪B≠Φとする．いま，A⊆C∧B⊆C⇒A∪B⊆Cは



(∀x(x∈A⇒x∈C)∧∀x(x∈B⇒x∈C))⇒(∀x(x∈A∪B⇒x∈C))


と書ける．この対偶


￢(∀x(x∈A∪B⇒x∈C))

⇒￢(∀x(x∈A⇒x∈C)∧∀x(x∈B⇒y∈C))


すなわち

∃x(x∈A∪B⇒x∈C)

⇒∃x(x∈A⇒x∈C)∧∃x(x∈B⇒x∈C)



を示す．∃x(x∈A∪B⇒x∈C)を前提①とする．