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群 G の元が何か抽象的な「操作」や「変換」を表しているとします。
例えば、正方形を回転させたり反転させたりする操作の集まりが
群をなすと考えます。表現論では、この抽象的な操作を、
線型空間 V のベクトルに実際に作用する「線型変換」として捉え直します。

例えば、平面上の回転を考えます。これは群の操作ですが、この回転を
平面上の点の座標（ベクトル）に作用する2次元の回転行列として
「表現」することができます。この「表現」によって、抽象的な回転
という操作が、具体的な行列の計算として扱えるようになります。