論理学ではなくて数理論理学ならベン図のようなものを理解できれば独学でもいけるでしょうが、
一階述語論理あたりまでかなぁ、とも思います。
不完全性定理は、いいかげんな本も多いので要注意です。
ゲーデル 不完全性定理 (岩波文庫)　は必ず入手しましょうね。