【A】プリンキピア・マセマティカ【B】

『プリンキピア・マセマティカ』(Principia Mathematica) は、
バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドに
よって書かれた、数学の基礎を論理学によって構築しようとした
monumental な著作です。非常に専門的で技術的な内容であるため、
一般的な引用というよりは、その目的や、哲学的な含意を説明する
序文からの引用がよく知られています。

>>2以降に、特に有名な引用や、その核心を示す箇所をいくつか挙げます。

>>100

The user's description is accurate regarding the fundamental
principles of optimization using calculus.The first statement
correctly identifies that critical points, where the first derivative
(or gradient) equals zero, are often candidates for optimization
solutions (local maxima or minima).

This is because the tangent line (or tangent plane) is horizontal
at these points, indicating a potential extremum.

The second statement accurately describes the role of the second
derivative in determining the convexity (or concavity) of a function.

If f''(x) > 0, the function is locally convex (concave up),
indicating a local minimum.

If f''(x) < 0, the function is locally concave (concave down),
indicating a local maximum.

Refining the explanation for optimization problems

While the concepts you've described are correct, it's helpful
to clarify how they relate specifically to finding optimal
solutions in calculus-based optimization.

1. The First Derivative and Critical Points

In optimization, we look for points where the rate of change is zero.
1D Optimization (y = f(x)): We find x such that f'(x) = 0.
These are the critical points.

Multivariate Optimization (z = f(x, y,...)):

We find points where the gradient ∇f is the zero vector.
These are also critical points.Critical points are the potential
locations for local extrema (maximum or minimum). However, as
you noted, they can also be saddle points (where the function
increases in some directions and decreases in others).

2. The Second Derivative and the Second Derivative Test

The second derivative is crucial for differentiating between
a maximum, minimum, or saddle point at a critical point.
This is known as the Second Derivative Test.

* f''(x) > 0 (Convexity / Concave Up): This indicates the
function is locally convex (shaped like a bowl opening upward).
At a critical point where f'(x) = 0 and f''(x) > 0, the point
is a local minimum.

* f''(x) < 0 (Concavity / Concave Down): This indicates the
function is locally concave (shaped like a dome opening downward).
At a critical point where f'(x) = 0 and f''(x) < 0, the point
is a local maximum.

* f''(x) = 0: The test is inconclusive, and the point might be
an inflection point or a saddle point.

>>100
Summary

Your understanding is fundamentally correct. Optimization
relies heavily on identifying points where the first derivative
is zero and using the second derivative to classify those points
as local maxima or minima.

>>107にあるinflection point とは、変曲点のことである
二階微分して0になるとき(f''(x) = 0)、その座標点は変曲点に
なる。変曲点とは、グラフの変化の向きが変わる切り返し地点
のことである。

これを具体例で言えば、たとえば、水が氷になったり、水が
水蒸気になる地点が変曲点のイメージに近いかもしれない。

選挙が近いので政治運動で変曲点を例えると、若い頃は左翼で
あったのに、年寄になって右翼になった場合、このような
政治的傾向性の切り換わり地点が変曲点のイメージになる。

つまり、脳が加齢で萎縮したり頭が悪くなったり、数学が出来ないと、
人は右翼的になり、知性的であると、人は左翼・リベラル的になると
いうことである。ガロア、ラッセルは当然、リベラル的な自由な人間
である

時代がようやく、ピタゴラス-プラトンの原理的な数理的認識に近づきつつあるのだが、
なぜ、彼らの認識がかくも途轍もない長大な射程を有するのであろうか。

もちろん、彼らが普遍相で物事を考究していたので、彼らの認識が時空の制約を
超過することを可能にした点にあるのだろう。また、それにプラスアルファーとして、
もし、時間が線形的な順序構造でなく、円環的な循環構造でフォーマットされていると
仮定すれば、古代の人間のピタゴラスやプラトンが未来における最先端の認識を
先取り出来ていたとしても、論理的に違和感は生じないのである

よって、形而上学的に考えると、時間のモデルは様々に想定することが可能になる

プリキュアに見えた

ピタゴラスは、意味は数的な関係に宿るとした。つまり、意味はオブジェクトに備わるプロパティにではなく、
数的な関係の相互作用において生成されるとした。このピタゴラスの考え方は非常に洗練されており、
ようやく時代がなんとかピタゴラスの認識に近づいてきた、ということになる

よって、宇宙もオブジェクトや物質によってではなく、数的に構成されている、とピタゴラスは考えた。

数学の本質をめぐっては、古くから哲学的な問いが存在します。

プラトン主義: 数学的な対象（数や図形など）は、人間が作り出したものではなく、もともと客観的に存在する「イデア」のようなものであるという考え方。数学者はそれを「発見」していると捉えます。

形式主義: 数学とは、定められたルールに従って記号を操作するゲームのようなものであるという考え方。数学の正しさは、その体系の無矛盾性によって保証されるとします。

直観主義: 数学的な対象は、人間の直観的な構成活動によってのみ存在する、という考え方。

これらの立場は、数学という学問がいかに深く、一言では語れないものであるかを示しています。

>>113
この区分だと、ウィトゲンシュタインの数学観は形式主義になる。生成AIも形式主義の経路で経験論的に発展してきているので、ウィトはなかなか先見の明があったのかもしれない

双子素数とは、差が2となる素数のペアのことです。
具体的には、「p」と「p + 2」がどちらも素数である場合、
そのペア (p, p+2) を双子素数と呼びます。

具体例 🧑‍🤝‍🧑

身近な数の中にも、双子素数はたくさん見つかります。

* (3, 5)
* (5, 7)
* (11, 13)
* (17, 19)
* (29, 31)
* (41, 43)

素数である「3」と「5」の差は2なので、これは双子素数です。しかし、
「7」と「11」はどちらも素数ですが、差が4なので双子素数ではありません。

双子素数予想 ♾

数は大きくなるにつれて素数の出現頻度は減っていきますが、双子素数のペアは
数が大きくなっても発見され続けています。このことから、数学の世界では次の
ような予想が立てられています。

「双子素数は無限に存在するのではないか？」

これは双子素数予想と呼ばれ、古代ギリシャの時代から知られているにもかかわらず、
現代数学の未解決問題の一つです。

2013年に、張益唐（Yitang Zhang）という数学者が「差が7000万以下の
素数のペアは無限に存在する」ことを証明し、この予想の解決に向けて大きく
前進したとして大きな話題になりました。その後、多くの数学者の貢献により、
その「差」は現在「246」まで縮められています。

最終的な目標である「差が2」の証明には至っていませんが、数論における
最も有名で重要な問題の一つとして、今もなお多くの数学者が挑戦を続けています。

では、Pythonで、0から1億までの数の中にある双子素数を探索してみよう。
大きい数になると、直感的には双子素数というのはあまり出現
しなさそうではあるけど、実際はそうとは限らないようだ。
とりあえず、最初の10個と最後の10個の双子素数だけを表示させる
ように設定してみた。どのような最後の10個の双子素数が出現するのか、
ワクワクして来ないだろうか

import time

def find_twin_primes(limit):
"""
エラトステネスの篩を使って、指定された数までの双子素数を見つける関数
"""
print(f"{limit} までの双子素数を探します...")

# limitまでTrueのリストを作成（0と1は素数ではない）
is_prime = [True] * (limit + 1)
is_prime[0] = is_prime[1] = False

# エラトステネスの篩を実行
# i * i が limit を超えるまで調べれば良い
for i in range(2, int(limit**0.5) + 1):
if is_prime[i]:
# iの倍数をすべて素数ではない（False）にする
for multiple in range(i * i, limit + 1, i):
is_prime[multiple] = False

# 双子素数のペアを探してリストに追加
twins = []
for p in range(3, limit - 1):
if is_prime[p] and is_prime[p + 2]:
twins.append((p, p + 2))

return twins

if __name__ == '__main__':
# 探す上限を設定
UPPER_LIMIT = 100_000_000 # 0から1億までの双子素数を探索

start_time = time.time()
twin_primes_list = find_twin_primes(UPPER_LIMIT)
end_time = time.time()

# 結果の表示
print(f"\n見つかった双子素数の数: {len(twin_primes_list)} 個")

# 最初の10個と最後の10個だけ表示
if len(twin_primes_list) > 15:
print("最初の10ペア:", twin_primes_list[:10])
print("...")
print("最後の10ペア:", twin_primes_list[-10:])
else:
print("見つかったペア:", twin_primes_list)

print(f"\n処理時間: {end_time - start_time:.4f} 秒")

## -- End pasted text --

100000000 までの双子素数を探します...

見つかった双子素数の数: 440312 個
最初の10ペア: [(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19),
(29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109)]
...
最後の10ペア: [(99997187, 99997189), (99997367, 99997369),
(99997871, 99997873), (99998447, 99998449), (99998609, 99998611),
(99999077, 99999079), (99999257, 99999259), (99999437, 99999439),
(99999539, 99999541), (99999587, 99999589)]

処理時間: 20.3896 秒

と、上記のように素晴らしい「双子素数」の出力結果が得られた。
0～1億までで双子素数を探索して、小さい方と大きい方の双子素数を
それぞれ10個ずつ表示させてみたが、大きい方の数でも、意外と、
指定上限の1億に近い地点で、ちゃんと双子素数が存在していることが、
この出力結果から見えて来るであろう

また、(0～1億までの範囲)で見つかった双子素数の数: 440312 個

とあるので、双子素数というのは、双子の割に、意外と存在する、
ということも分かる。処理時間も20秒程度で10億までに存在する
双子素数の探索が出来ているから、処理速度もそんなに悪くはない
ことであろう。ここでは、「エラトステネスの篩」というアルゴリズム
を使用している。これは、最初に素数リストを一気に作ってから
双子素数を探す方法であり、非常に高速なアルゴリズムになる


数論においては、素数がキーになっているので、この不思議な
ランダムさで出現する数に数学者が魅了されがちなのも何となく
想像されよう。私は別に素数ファンではないので、そこには
深入りするつもりはないのであるが。

ものはついでなので、実際の人間の双子出現率も調べてみた


人間の双子の比率（普通の兄弟姉妹との比較）
世界および日本・先進国の双子出生率

世界平均
世界全体で見ると、双子の出生率はおよそ「1,000出生あたり12組（1.2%）」、
つまり約42人に1人が双子として生まれます


アメリカ・ヨーロッパ
近年のアメリカやヨーロッパでは、双子の出生率は「1,000出生あたり30.7組（約3.1%）」
と、世界平均より高くなっています


日本やアジア
日本を含む東アジアでは、双子の出生率は「1,000出生あたり6～9組（0.6～0.9%）」と、
世界平均よりも低い傾向です

となった。

さっきやった双子素数の出現比率は、

440312/100000000 =

0.00440312 となったので、0.44%なので、日本やアジア人の双子出現率より
やや少ない比率で双子素数が出現していることが分かる。

いやあ、面白かったね。双子素数と本当の双子の出現比率に、相関が見られる
のだから。やはり、この宇宙は、あるいは、世界は数学化されているのかも
しれない

よって、数学を知る者は、この宇宙を知ることと等価になりそうだ

>>123
○ 処理時間も20秒程度で1億までに存在する
一般的な性能のPCで上記の双子素数探索コードを実行した場合の目安

| 探す上限 | 予想される処理時間 | 主な制約 |
|----------|--------------------|----------|
| 100万 | 1秒未満 | 全く問題なし |
| 1,000万 | 数秒 | 全く問題なし|
| 1億 | 数秒～数十秒 | メモリ（約100MB） |
| 10億 | 数分 | メモリ（約1GB） |
| 100億以上| 数十分～数時間 | メモリ（10GB以上）、時間 |

このように、アルゴリズムを工夫すれば、個人用のPCでも
驚くほど多くの双子素数を短時間で見つけることが出来る

低学歴の妄想

英単語「acyclic」の「a-」が否定の意味で使われる理由は、英語の語形成における接頭辞「a-」が「not（～でない）」という否定を表す役割を持つからです。「cyclic（循環的な）」に「a-」を付けることで「非循環的な」「循環しない」という意味になります[1]。

この「a-」は、ギリシャ語やラテン語由来の単語でよく見られる否定の接頭辞です。たとえば、「asymmetric（非対称の）」「atypical（非定型の）」なども同じ仕組みです。したがって、「acyclic」は「a（否定）」＋「cyclic（循環的な）」で「循環しない（非循環的）」という意味になります[1]。

引用:
[1] acyclic とは 日本語訳と意味 | Goong.com - 新世代の辞書 https://goong.com/ja/word/acyclic-%E3%81%A8%E3%81%AF-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E8%AA%9E%E8%A8%B3%E3%81%A8%E6%84%8F%E5%91%B3/
[2] SLV9000 Flashcards by Shinsuke Sato https://www.brainscape.com/flashcards/slv9000-2933931/packs/4785952
[3] 第4回 バイアスの考え方，結果の解釈の仕方（疫学各論 3） - J-Stage https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjaam/20/9/20_9_794/_pdf
[4] 多変量解析 https://www2.kobe-u.ac.jp/~bunji/files/lecture/MVA/html/multivariate-analysis.pdf
[5] [PDF] 非単調論理と常識推論 https://www.airc.aist.go.jp/aitec-icot/ICOT/Museum/TRTM/TM/TMpdf/tm0729.pdf
[6] 麻酔・集中治療と テクノロジー https://jsta.net/pdf/2023.pdf
[7] [PDF] 論 文 内 容 の 要 旨 - OPAC https://opac.ll.chiba-u.jp/da/curator/100553/dissertation_gist_201503.pdf
[8] 社会福祉研究法論特講 （2 単位） 通年 必 https://www.n-fukushi.ac.jp/gs/divisions/sowe/docs/nfu_gs_sw_tusin_01.pdf
[9] [PDF] 第 9 章 治療後のサーベイランス・ 再発予防・再発治療 - 日本肝臓学会 https://www.jsh.or.jp/lib/files/medical/guidelines/jsh_guidlines/medical/2017_v4_chap09.pdf
[10] 教育研究成果報告書 https://www.hiroshima-u.ac.jp/system/files/181153/%E5%85%A8%E4%BD%93%E7%89%88.pdf

数学的であること、ただそれだけで良い

Just be mathematical, that's all.

import numpy as np
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense, Activation, InputLayer

CONTEXT_NEURON_NUM=2
HIDDEN_NEURON_NUM=4

def generate_nn_model():
nn_model = Sequential()
nn_model.add(InputLayer((7+CONTEXT_NEURON_NUM,)))
nn_model.add(Dense(HIDDEN_NEURON_NUM, activation='sigmoid'))
nn_model.add(Dense(2+CONTEXT_NEURON_NUM, activation='sigmoid'))
return nn_model

def generate_action(nn_model, sensor_data, context_val):
nn_input = np.r_[sensor_data, context_val]
nn_input = nn_input.reshape(1, len(nn_input))
nn_output = nn_model.predict(nn_input)
action = np.array([nn_output[0][:2]])
context_val = nn_output[0][2:]
return action, context_val

def get_gene_length(model):
return len(encode_weights(model))

def encode_weights(model):
w = model.get_weights()
g = np.concatenate([x.flatten() for x in w])
return g

def decode_weights(model, gen):
w_shape = [wi.shape for wi in model.get_weights()]
w_size = [wi.size for wi in model.get_weights()]

w = []
tmp = gen
for shape, size in zip(w_shape, w_size):
w.append(tmp[:size].reshape(shape))
tmp = tmp[size:]
model.set_weights(w)

import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 親ディレクトリのファイルをインポートするための設定
import numpy as np
from alifebook_lib.simulators import AntSimulator
from ant_nn_utils import generate_nn_model, generate_action, decode_weights, CONTEXT_NEURON_NUM, get_gene_length

nn_model = generate_nn_model()
# アウトプットの一部をコンテキストニューロンとして次回のインプットに回すための変数
context_val = np.zeros(CONTEXT_NEURON_NUM)

if len(sys.argv) == 1:
gene = np.random.rand(get_gene_length(nn_model))
else:
gene = np.load(sys.argv[1])
decode_weights(nn_model, gene)

# 引数はエージェントの数（Appendix参照）
simulator = AntSimulator(1)
simulator.reset()
while True:
sensor_datas = simulator.get_sensor_data()
action, context_val = generate_action(nn_model, sensor_datas[0], context_val)
simulator.update(action)

シミュレーション画面の内容

シミュレーション画面では、餌である化学物質が黄緑色で濃度を
持って青い環境内に分布している。赤い丸がエージェントになる。
エージェントが動いた場所は餌が吸収されるので、青い軌跡として
表示される。

だが、ここに出てくるエージェントは哲板住民のようにやる気や
向学心が全くなく、その場をグルグル回ったり、適当に進み続ける
だけで、まったく餌を集める様子がないのがその特徴である。


動画約30秒
https://imgur.com/a/18HwlO3

ニューラルネットワークを持つエージェントモデル(ランダムな遺伝子)

このシミュレーションで使われている「keras」は2017年にGoogleの
エンジニアが開発したもので、ニューラルネットワークの実装などに
使われるライブラリである。

NNではシグモイド関数がよく使われるが、ここでも

nn_model.add(Dense(2+CONTEXT_NEURON_NUM, activation='sigmoid'))

の中でそれが使われている。

ミリカンでも、生命というエージェントは自然情報から、進化や適応に
寄与するような意味(標識)を探索する、みたいな観点があったので、
上記のような生命系エージェントのシミュレーションは、ミリカンの
哲学的な観点にも近接したものとなっていることであろう。

生命によって、より良い状態を目指すのは自然であるのかもしれない。
だが、それを回避する場合は、それを目指すコストやリスクが高い、
と判断されたケースなどが考えられる。いわゆる、コスパが悪そうなので
寝そべり族でいいや、みたいなスタンスであり、哲学板住民に多い
自堕落な態度であるとも言える。

>>136
○ 生命にとって、

https://www.youtube.com/watch?v=zQN5J7VcKOc

（　＾ω＾）

An intellectually sophisticated person constantly zeros in on mathematics

私たちは腐った哲学溜まりに吶喊するJeannetteを見た