問題 : ³√2 の有理数 ℚ上の最小多項式、P(x)を求めよ

まず、α = ³√2 と置き、両辺を3乗すると、α³ = 2
よって、P(x) = α³ - 2 = 0

P(x)をℚ上可約と仮定すると、P(x) は、(1次)×(2次)の形に因数分解出来るので、
(x - α) (α ∈ ℤ) を因数として持つ。よって、P(α) = 0
すなわち、P(x) = α³ - 2 は整数解αを持つ。しかし、α³ - 2 = α²(α) = 2
において、2の約数は±1, ±2 なので、α = ±1, ±2 となる。だがα = ±1, ±2 を
P(x) = α³ - 2 = 0 に代入すると、P(1) = -1 ≠ 0, P(-1) = -3 ≠ 0,
P(2) = 6 ≠ 0 , P(-2) = -10 ≠ 0となり、それぞれP(x) = 0 と矛盾する。
よって、P(x) = α³ - 2 は ℚ上既約であり、かつ、ℚ上の最小多項式で
あり、モニックでもある。